Question

Докажите методом математической индукции, что следующее неравенство верно для любого натурального n больше 5:

$2^{n} \ \textgreater \ n^{2}$

(пожалуйста, распишите шаги поподробнее, спасибо)

Answer 1

1) проверяем условие при наименьшем возможном значении n.

n>5, значит проверяем условие при n=6

$2^6>6^2 \\ 64>36$

Верно!

2) Сделаем предположение, что для всех n=k, k>5 верно неравенство:

$2^k>k^2$

3) Тогда при n=k+1 должно выполняться неравенство:

$2^{k+1}>(k+1)^2$

Вернемся к неравенству из второго пункта и домножим его на 2:

$2^k>k^2 \ |*2 \\ 2*2^k>2k^2 \\ 2^{k+1}>2k^2$

Подставим 2k² в 3-й пункт и рассмотрим полученное неравенство:

$2k^2>(k+1)^2 \\ 2k^2>k^2+2k+1 \\ k^2-2k-1>0 \\ \\ k^2-2k-1=0 \\ D=2^2+4*1=8=(2\sqrt{2})^2 \\ \\ k_{1,2}=\frac{2 \pm2\sqrt{2}}{2}=1 \pm \sqrt{2} \\ \\ +++(1-\sqrt{2})---(1+\sqrt{2})+++>_k$

по методу интервалов определяем, что неравенство k²-2k-1>0 выполняется при  k>1+√2, тогда при k>5 оно тоже выполняется (так как 5>1+√2)

Тогда обратным ходом получаем 2k²>k²+2k+1 при k>5 или 2k²>(k+1)² при k>5

Если $2^{k+1}>2k^2$, а $2k^2>(k+1)^2$ , при k>5

То есть, $2^{k+1}>2k^2>(k+1)^2$ , при k>5, то по закону транзитивности:

$2^{k+1}>(k+1)^2$ , при k>5 - ч.т.д