Question

Пусть AK, BL, CN – биссектрисы треугольника ABC, I – точка их пересечения. Известно,что отношения площадей треугольников BKN и CLK к площади треугольника ABC равны,соответственно, 1/8 и 7/32, а отношение IK:AI равно 1/4. Найдите отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC.

Answer 1

Отношение площадей треугольников с равным углом равно отношению произведений прилежащих сторон.

S BKN/S ABC =BN*BK/BA*BC =BN/BC *BK/BA

По теореме о биссектрисе

BN/BC =IN/CI

BK/BA =IK/AI

S BKN/S ABC =IN/CI *IK/AI => 1/8 =IN/CI *1/4 => IN/CI =1/2

Аналогично

S CLK/S ABC =IL/BI *IK/AI => 7/32 =IL/BI *1/4 => IL/BI =7/8

S ANL/S ABC =IN/CI *IL/BI =1/2 *7/8 =7/16