Question

Нужна помощь с логарифмами

Answer 1

Ответ:

$4) \ \frac{\lg3-\lg2}{\lg2-\lg(1+\sqrt{5})}$

Объяснение:

$4^{-\frac{1}{x}} +6^{-\frac{1}{x}} =9^{-\frac{1}{x}} \\ \\ \left(2^2\right)^{-\frac{1}{x}} +(2*3)^{-\frac{1}{x}} =\left(3^2\right)^{-\frac{1}{x}} \ \ |:\left(3^2\right)^{-\frac{1}{x}}, \ \left(3^2\right)^{-\frac{1}{x}} \neq 0 \\ \\ \left(\left(\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{x}}\right=1$

Замена:

$\left(\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{x}}\right=t, \ t>0 \\ \\ t^2+t=1 \\ t^2+t-1=0 \\ D=1+4*1=5 \\ \\ t_1=\frac{-1+\sqrt{5} }{2} >0$

$t_2=\frac{-1-\sqrt{5} }{2} <0$ - не удовлетворяет условию t>0

Обратная замена:

$\left(\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{x}}\right=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ \left(\frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{x}}\right=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ \log_\frac{3}{2} \left(\frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{x}}\right=\log_\frac{3}{2}\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ \frac{1}{x}= \log_\frac{3}{2}\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ x=\frac{1}{\log_\frac{3}{2}\frac{-1+\sqrt{5}}{2} }=\log_\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\frac{3}{2}$

Так как варианты ответов даны в десятичных логарифмах, значит перейдем к основанию 10

$x=\log_\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\frac{3}{2}=\frac{\lg\frac{3}{2}}{\lg \frac{-1+\sqrt{5}}{2}} =\frac{\lg3-\lg2}{\lg(-1+\sqrt{5})-\lg2}=\frac{\lg3-\lg2}{\lg(\sqrt{5}-1)-\lg2}$

Преобразуем знаменатель:

$\lg(\sqrt{5} -1)-\lg2=\lg\left(\frac{1}{\sqrt{5}-1} \right)^{-1}-\lg2=-\lg\left(\frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} \right)-\lg2=\\ \\ =-\lg\left(\frac{\sqrt{5}+1}{5-1} \right)-\lg2=-\lg\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)-\lg2=\lg(\sqrt{5}+1)+\lg4-\lg2= \\ \\ -\lg(\sqrt{5}+1)+\lg2^2-\lg2=-\lg(\sqrt{5}+1)+2\lg2-\lg2=\lg2 -\lg(1+\sqrt{5})$

Окончательный ответ:

$x=\frac{\lg3-\lg2}{\lg2-\lg(1+\sqrt{5})}$