Question

Углубленная алгебра. Даю 50 баллов. Очень подробно. 1. Найдите целые числа p и q, такие что число 2+√3 является корнем квадратного трехчлена x²+px+q. 2. Найдите все пары чисел p и q, такие что эти числа являются корнями уравнения x²+px+q=0. 3. Найдите все значения a, при которых один из корней уравнения x²-ax+2a-4=0 вдвое меньше другого.

Answer 1

1) Подставим корень в уравнение

$\displaystyle\\(2+\sqrt{3})^2 + p(2+\sqrt{3}) + q = 0\\4+4\sqrt{3}+3+2p+p\sqrt{3} + q =0\\7+2p+q + (p+4)\sqrt{3} = 0$

Так как p и q - целые, а корень из трех вообще иррациональный, никаким домножением на целое число его не сделать целым. Если только не умножать на 0. Поэтому

p = -4

7+2p+q = 0

q = 1

2) Подставим корни p и q в это уравнение. Имеем

$p^2+p^2+q = 0\\q^2+pq+q = 0\\\\2p^2 + q =0\\q(q+p+1) = 0$

Либо q = 0 и p = 0

Либо p = -q-1 ≠ 0 и тогда

$2(q+1)^2+q=0\\2q^2 + 5q+2=0\\q = -2, p = 1\\q = -1/2, p =-1/2$

Второй вариант не подойдет, потому что у получающегося уравнения есть только один корень -1/2, но второй с ним не совпадает

3) Пусть меньший корень равен p, тогда больший - 2p.

Очевидно a = 0 не подходит, имеем после подстановки

$p^2-pa+2a-4 = 0\\4p^2-2pa+2a-4 = 0\\\\4p^2-4pa+8a-16=0\\4p^2-2pa+2a-4 = 0\\2pa - 6a + 12 = 0\\pa = 3a-6\\p = 3-6/a$

Отметим что a не может равняться двум, потому что тогда 2p = p=0, а при a=2 корни уравнения 0 и 2.

Подставим этот корень в исходное уравнение

$(3-6/a)^2 - 3a+6+2a-4 = 0\\9-36/a+36/a^2 - a + 2=0\\a-11+36/a-36/a^2=0\\a^3-11a^2+36a-36=0\\a^2(a-2) - 9a^2+36a-36=0\\a^2(a-2) - 9a(a-2) + 18a-36=0\\(a-2)(a^2-9a+18) = 0\\(a-2)(a-3)(a-6)=0$

Почему надо пытаться вынести a=2? Потому что при a=2 формально p=2p, и значит у полученного кубического уравнения a=2 должно быть корнем. Но нас интересуют другие a

a = 3, x^2-3x+2, корни 1 и 2

a = 6, x^2-6x+8, корни 2 и 4

Ответ: при a = 3 или 6