Question

пр56) Найдите наименьшее расстояние от точки A(8 ; 0) до графика функции y= корень(25-(x-5)^2 )

Заранее спасибо!​

Answer 1

Рассмотрим функцию $y=\sqrt{25-(x-5)^2}$. Найдем ее область определения:

$25-(x-5)^2\geq 0$

$(x-5)^2\leq 25$

$-5\leq x-5\leq 5$

$0\leq x\leq 10$

Таким образом: $D(y)=[0;\ 10]$

Возьмем точку $A(8;\ 0)$.

Выберем на графике функции $y=\sqrt{25-(x-5)^2}$ некоторую точку $B\left(x;\ \sqrt{25-(x-5)^2} \right)$.

Найдем расстояние АВ:

$AB=\sqrt{(x-8)^2+(\sqrt{25-(x-5)^2} -0)^2}$

$AB=\sqrt{(x-8)^2+25-(x-5)^2 }$

$AB=\sqrt{x^2-16x+64+25-x^2+10x-25 }$

$AB=\sqrt{-6x+64 }$

Зная область определения функции, то есть ограничение на х, найдем какие значение может принимать выражение для АВ:

$0\leq x\leq 10$

$6\cdot0\leq 6x\leq 6\cdot10$

$0\leq 6x\leq 60$

$-60\leq -6x\leq 0$

$-60+64\leq -6x+64\leq 0+64$

$4\leq -6x+64\leq 64$

$\sqrt{4} \leq \sqrt{-6x+64} \leq \sqrt{64}$

$2 \leq \sqrt{-6x+64} \leq 8$

Таким образом, расстояние АВ может принимать значения из отрезка $AB\in[2;\ 8]$. Наименьшее расстояние АВ равно 2.

Ответ: 2