Question

Для любого действительного значения x выполняется равенство $f(x+2)+af(x)=f(x+1)$, при этом $f(3)=2013, a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, f: R\to R$ Найдите $f(2013)$

Answer 1

Заметим, что a - корень уравнения $a^2 - 3a+1=0$

Имеем $f(x+2) = f(x+1) - af(x)$

Рассмотрим последовательность

$f(x) = p\\f(x+1) = q\\f(x+2) = q-ap\\f(x+3) = q(1-a)-ap\\f(x+4) = q(1-2a) + (a^2-a)p = q(1-2a)+p(2a-1)\\f(x+5) = q(1-3a+a^2) + p(a^2+2a-1) = (5a-2)p = (5a-2)f(x)$

Это справедливо для любого x,  в том числе для x=3. Следовательно

$f(x+5n) = (5a-2)^nf(x)$

Наконец, отмечая что 2010 = 5*402, получим

$f(2013) = f(3+5\cdot402) = 2013(5a-2)^{402}$