Question

Найти все такие значения k, для которых уравнение kx^2-(k^2+4)x+4k=0 имеет только целые корни, и для каждого такого k найти эти корни.

Answer 1

$kx^{2} -(k^{2} +4)x+4k = 0$

Рассмотрим два случая :

1. k = 0 :

$-4x = 0$

$x = 0$

2. k ≠ 0

$\frac{kx^{2}}{k} -\frac{(k^{2}+4) }{k} x+\frac{4k}{k} =0$

$x^{2} -(k+\frac{4}{k} )x+4 = 0$

По теореме Виета :

$x_1 + x_2 =k+\frac{4}{k}$

$x_1 * x_2 = 4$

-----------------------

$x_1 = k$

$x_2 = \frac{4}{k}$

-----------------------

Ответ : целые решения : k = -4 , k = -2 , k = -1, k = 0, k = 1, k = 2 , k = 4