Question

В цепь, содержащую три одинаковых резистора с сопротивлением 100 Ом и идеальную батарейку, подключили амперметр, как показано на рисунке. При каком максимальном собственном сопротивлении амперметр можно считать идеальным? Идеальным амперметром в данном случае будем считать прибор, который изменяет ток на последовательно подключенном к нему резисторе не более чем на 2 %. Ответ выразите в омах, округлите до десятых. Приборной погрешностью можно пренебречь.

Answer 1

Пусть сопротивление амперметра r, тогда эффективное сопротивление всей цепи составляет

$\displaystyle\\R_\text{eff} = R + \frac{R(R+r)}{2R+r}$

Ток, текущий через источник

$\displaystyle\\I = \mathcal{E}/R_\text{eff} = \mathcal{E}\frac{2R+r}{3R^2+2Rr}$

Он делится в параллельном соединении в пропорции, обратной сопротивлениям параллельных участков. То есть, ток через амперметр

$\displaystyle\\I_a = I\frac{R}{2R+r} = \mathcal{E}\frac{2R+r}{3R^2+2Rr}\frac{R}{2R+r} = \mathcal{E} \frac{1}{3R+2r}$

В отсутствии сопротивления r ток составляет просто E/3R, что больше, чем при наличии сопротивления.

Чтобы погрешность была двухпроцентная, соотношение между токами в двух случаях должно быть таким

$\displaystyle\\I_a / (\mathcal{E}/3R) = 0.98\\\frac{3R}{3R+2r} = 0.98\\3R(1-0.98) = 2r\cdot0.98\\r = \frac{3R}{2}\frac{0.02}{0.98}\approx0.0306R$

Или примерно 3.1 Ом