Question

При каких значениях параметра a число 1 расположено между корнями уравнения
$x ^{2} + (a + 1) x - a^{2} = 0$
?​

Answer 1

Отмечу, что $D=(a+1)^2-4\cdot(-a^2)=a^2+2a+1+4a^2=5a^2+2a+1 > 0$ при всех значениях параметра $a$. Т.е. действительные корни всегда существуют

Введем функцию $f(x)=x^2+(a+1)x-a^2$

Для того чтобы корни были по разные стороны от единицы необходимо и достаточно того, чтобы выполнялось условие $f(1)<0$.

$f(1)=1^2+(a+1)\cdot1-a^2=1+a+1-a^2=2+a-a^2<0;\\\\2+a-a^2<0;\\\\a^2-a-2>0;\\\\(a+1)(a-2)>0\Rightarrow a\in (-\infty; -1)\cup(2;+\infty)$

ОТВЕТ: (-∞; -1) ∪ (2; +∞)