Question

При каких значениях
$k$
прямая
$y = kx$
имеет единственную общую точку с графиком
функции
$y = (x - 1)^{2}$
? ​

Answer 1

Из условия следует, что прямая $y=kx$ должна быть касательной к графику функции $y=(x-1)^2$.

В точках касания равны значения функции и их производные, т.е. имеет место система $\left \{ {{kx=(x-1)^2} \atop {(kx)'=((x-1)^2)'}} \right.$

$\left \{ {{kx=x^2-2x+1} \atop {k=2x-2}} \right.$

Подставим k из второго уравнения в первое:

$(2x-2)x=x^2-2x+1;\\\\2x^2-2x-x^2+2x-1=0;\\\\x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1$

Из равенства $k=2x-2$ получаем, что $k=\pm2-2=0; -4$

ОТВЕТ: k = -4, k = 0.