Question

На доске написаны числа от 1 до 100. За один ход стираются 2 числа, а на доску записывается либо модуль их разности, либо их сумма. В конце на доске осталось одно число. Какому из перечисленных чисел оно может быть равно? 0 1 4 9 Пожалуйста с решением!

Answer 1

Ответ:

0 или 4

Пошаговое объяснение:

Заметим, что из двух четных чисел, появляется четное; из двух нечетных - четное, а из нечетного и четного - нечетное, таким образом после ход кол-во нечетных может уменьшиться на 2, а может не измениться, то есть четность количества нечетных чисел не меняется, так как вначале было 50 нечетных чисел, то в конце останется четное число нечетных чисел, а так как останется в конце только 1 число, то нечетных чисел в конце не будет, то есть ответы 1,9 не подходят. Докажем, что оно может быть равно как 0, так и 4

Первым делом разобьем числа на пары (1,2), (3,4), ... (99,100) выпишем в них модули разности, и у нас останется 50 единиц, тогда разобьем на 25 пар из двух единиц. Теперь в 23 парах запишем модуль разности, то есть 0, а в двух оставшихся сумму, то есть 2. Таким образом у нас остались 2 двойки и куча нулей. Теперь каждый из наших 0 будем складывать с двойкой, чтобы у нас исчезли все 0 и осталось только две двойки. Теперь, когда осталось ровно две двойки, мы можем их сложить, тогда единственным числом будет 4, а можем взять модуль разности, и у нас будет 0.  Таким образом, в конце может остаться как 0, так и 4, а 1 и 9 не могут