Question

Алгебра 8 класс. ПОЖАЛУЙСТА С ОБЪЯСНЕНИЕМ!

Answer 1

Дано:

$P(x)=2 x^{4} -3x^{2} +2x+1$

$Q(x)=x^{2} -x-2$

Найти $R(x)$ - остаток от деления $P(x):Q(x)$

Решение.

1) Для начала разложим многочлен $Q(x)$  на множители, для этого решим уравнение:

$x^{2}-x-2=0$

$x_1=-1;$   $x_2=-2$

$x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)$

2) Так как данный многочлен $P(x)=2 x^{4} -3x^{2} +2x+1$ делится на $(x^{2}-x-2 )$ с остатком, то представим его в виде

$P(x)=(x^2-x-2)*T(x)+R(x)$

где

$T(x)$ - неполное частное;

$R(x)$ - искомый остаток.

Степень остатка деления многочлена на многочлен должна быть меньше степени делителя. В данном случае делитель - многочлен второй степени, так что остаток - многочлен первой степени, который имеет вид:

$R(x)=kx+b$

$P(x)=(x^2-x-2)*T(x)+(kx+b)$

3) Подставим в равенство $P(x)=(x^2-x-2)*T(x)+(kx+b)$ первый корень  $x=-1$  и получим:

$P(-1)=((-1)^2-(-1)-2)*T(x)+(k*(-1)+b)$

$P(-1)=0*T(x)+(-k+b)$

$P(-1)=-k+b$

Вычислим  $P(-1)$.

$P(-1)=2*(-1)^{4} -3*(-1)^{2} +2*(-1)+1=2-3-2+1=-2$

Так как $P(-1)=-2$ , то

$-k+b=-2$      =>   $b=k-2$

4) Аналогично решаем и со вторым корнем $x=2$.

$P(2)=2*2^{4} -3*2^{2} +2*2+1=32-12+4+1=25$

$P(2)=25$

$P(2)=(2^2-2-2)*T(x)+(k*2+b)$

$25=0*T(x)+(2k+b)$

$2k+b=25$

5) Подставим  $b=k-2$ в полученное уравнение:

$2k+(k-2)=25$

$3k=27$

$k=27:3$

$k=9$

6) $b=9-2$

    $b=7$

$R(x)=9x+7$  - искомый остаток.

Ответ:      $9x+7$