Question

найти наибольшее возможное значение выражения 6cos(a) + 8sin(a)

Answer 1

Пусть $\cos \alpha=x,\; \sin\alpha=y$. Переформулируем задачу, сведя ее к параметру: найдите максимальное значение параметра $a$, при котором система $\left \{ {{6x+8y=a} \atop {x^2+y^2=1}} \right.$ имеет хотя бы одно решение. Первое уравнение задает прямую $y=\frac{a-6x}{8}$ в $x0y$, а второе — окружность с центром в начале координат радиусом 1. Заметим, что увеличивая $a$, мы поднимаем прямую, значит, максимальному $a$ соответствует случай касания прямой и окружности.

$OB=\frac{a}{8}, OA=\frac{a}{6}, OH=1$. По теореме Пифагора найдем $AB=\frac{5}{24}a$. При этом, очевидно: $AB\times OH=OB\times OA$, подставляем: $5a/24\times 1=a^2/48 \Rightarrow a=10$.

Ответ: 10