Question

Який кут в градусах утворюють одиничні вектори а і с, якщо вектори а+2с і 5а-4с є взаємно перпендикулярними? ​

Answer 1

Вектори взаємно перепендикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

$( \overline{a}+2 \overline c)(5 \overline a-4 \overline c)=0\\5 \overline a^2+10 \overline a \cdot \overline c- 4 \overline a \cdot \overlinie c - 8 \overline c^2=5 \overline a^2+6 \overline a \cdot \overline c-8 \overline c^2=0$

Скалярний квадрат одиничних векторів дорівнює одиниці:

$5+6 \overline a \cdot \overline c-8=0\\6 \overline a \cdot \overline c=3\\ \overline a \cdot \overline c=\dfrac{1}{2}$

Скалярний добуток дорівнює добутку модулів векторів на косинус кута між ними. Позначимо цей кут літерою $\varphi$. Модулі ми знаємо, тому знайдемо косинус, а затим — кут:

$\overline a \cdot \overline c=|a| \cdot |c| \cdot \cos \varphi=\dfrac{1}{2}\\1 \cdot 1 \cdot \cos \varphi = \dfrac{1}{2}\\\cos \varphi = \dfrac{1}{2}\\\\\varphi_1=60^{\circ}\\\varphi_2=300^{\circ}$

Відповідь: 60° або 300° (залежить від того, як орієнтовані вектори: проти годинної стрілки чи за).