Question

Решить уравнение в целых нечетных числах: х1^2+х2^2+х3^2+х4^2+х5^2=у^2

Answer 1

Все иксы и игрек можно без ограничения общности считать положительными

Пусть

$x_i = 2\xi_i + 1\\y = 2u+1$

Где ξ_i и u - натуральные или нуль.

Подставляя в наше уравнение получим

$4(\xi_1^2+...+\xi_5^2) + 4(\xi_1+...+\xi_5) + 5 = 4u^2+4u+1\\4(\xi_1^2+...+\xi_5^2) + 4(\xi_1+...+\xi_5) + 4 = 4u^2+4u\\\xi_1(\xi_1+1) + ... + \xi_5(\xi_5+1) + 1 = u(u+1)$

Fun fact: произведение двух подряд идущих чисел обязательно четно.

Слева стоит сумма 5 четных чисел и единица, а слева - четное число.

Слева число нечетное, справа четное.

Решений нет.