Question

Температура и объём ν=0,1 моль идеального газа составляли T1=T0 и V1=2V0 соответственно. С этой порцией газа провели процесс 1–2, в ходе которого его температура T и объём V изменялись так, как показано на рисунке. В относительных координатах T/T0 и V/V0 график этого процесса представляет собой полуокружность. Какое наибольшее давление имел газ в этом процессе, если T0=325К и V0=1,5 л? Ответ выразить в кПа, округлив до целых. Значение универсальной газовой постоянной принять равным R=8,31 Дж/(К*моль)

Answer 1

Ответ:

135 кПа

Объяснение:

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle pV=\nu RT$

Зависимость температуры от объема:

$\displaystyle T=\frac{pV}{\nu R}$

Хорошо видно, что $\displaystyle T\propto V$ для разных постоянных p. Таким образом, угол наклона изобары в TV координатах полностью определяется значением давления. Найдем ту прямую, которая будет иметь наибольший возможный угол наклона к оси V. Очевидно это прямая ОА, являющаяся касательной к графику процесса. Треугольники ОАВ и ВСО равны, тангенс угла ВОС:

$\displaystyle tg\frac{\alpha }{2}=\frac{BC}{OC}=\frac{1}{3}$

Угол АОС:

$\displaystyle \alpha =2arctg\frac{1}{3}\approx36.87^0$

Тангенс этого угла:

$\displaystyle tg\alpha =tg36.87^0=0.75$

С другой стороны, тот же тангенс:

$\displaystyle tg\alpha =\frac{T_m}{T_0}*\frac{V_0}{V_m}$

Откуда:

$\displaystyle \frac{T_m}{V_m}=\frac{T_0}{V_0}tg\alpha =\frac{325}{1.5*10^{-3}}*0.75=162500$ К/м³

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона еще раз, но уже для максимального давления:

$\displaystyle p_mV_m=\nu RT_m$

Откуда, максимальное давление:

$\displaystyle p_m=\nu R\frac{T_m}{V_m}=0.1*8.31*162500=135038$ Па или 135 кПа.