Question

Решите уравнение, нужна теорема Коши​

Answer 1

Посмотрите такое решение. Прошу и остальных посмотреть и дать комментарии.

Answer 2

Обозначим функцию в левой части равенства как $f(x)$

Понятно, что $f(x)=f(-x)$ (т.е. она четная) и что $f(x)$ определена на интервале $[-1,1]$

Это все упрощает. Самый элегантный способ решения  - разложить функцию слева в ряд Маклорена (табличные корни с нужной областью определения, за исключением точек -1 и 1, которые вручную проверяются)

$f(x)=4-\frac{x^2}{4}-\frac{17 x^4}{64}+O\left(x^5\right)$

Сразу ясно, что функция имеет единственное пересечение с четверкой.

Но если по школьному, то надо взять производную:

$f'(x)=-\frac{x}{2 \left(1-x^2\right)^{3/4}}+\frac{x}{2 \left(x^2+1\right)^{3/4}}-\frac{1}{2 \sqrt{1-x}}+\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}$

Далее понятно, что при приближении к точке 1 знаменатели отрицательных дробей стремятся к нулю, а значит эти отрицательные составляющие стремятся к бесконечности. На интервале от 0 до 1 производная ф-ии отрицательна, значит функция монотонно убывает.

В силу четности, на интервале от -1 до 0 она будет монотонно возрастать. Ясно, что $x=0$ является максимумом, тогда просто посчитав $f(0)=4$ имеем право заключить, что уравнение имеет единственное решение: $x=0$