Question

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равняется 6 а сумма их квадратов 84 Найти первый член и знаменатель прогрессии​

Answer 1

Пусть первый член равен A, тогда второй и третий Aq и Aq^2

Имеем

$\displaystyle\\A+Aq+Aq^2 = A(1+q+q^2) = 6\\A^2+A^2q^2+A^2q^4 = A^2(1+q^2+q^4) = 84\\\\A^2(1+q+q^2)^2 = 36\\\\\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2} = \frac{84}{36} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\\\\3(1+q^2+q^4) = 7(1+q^2+q^4+2q+2q^2+2q^3)\\4q^4+14q^3+18q^2+14q+4 = 0\\\\2q^4+7q^3+9q^2+7q+2=0\\2q^2(q^2+q+1) + 5q^3+7q^2+7q+2=0\\2q^2(q^2+q+1) + 5q(q^2+q+1) + 2q^2+2q+2=0\\(2q^2+5q+2)(q^2+q+1)=0\\2q^2+5q+2=0\\q=(-5\pm4)/2$

Получаем два решения: q=-2 и q=-1/2

Первому соответствует равенство

$A(1-2+4)=6\\A = 2$

И это числа 2, -4, 8

Второму соответствует равенство

$A(1 - 1/2+1/4) = 6\\A = 8$

И это числа 8, -4, 2 (то есть те же самые числа, но в обратном порядке)