Question

Прошу разъяснить правила преобразования x^2+4x-5 во множители

Answer 1

x^2 + 4x - 5

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, воспользуемся формулой :  A( x - x1)(x - x2), где x1 и x2 корни квадратного уравнения, чтобы найти их, воспользуемся теоремой Виета :

x1 + x2 = -4

x1 * x2  = -5

-------------------

x1 = -5

x2 = 1

Значит x^2 + 4x - 5 = A(x - x1) (x - x2) = 1 * (x - (-5))*(x - 1) = (x+5)(x-1)

Ответ : (x+5)(x-1)

Answer 2

Выражение, запись которого имеет вид $ax^{2} + bx + c$, где $a, \ b, \ c$ — числа, причем $a \neq 0$, называется квадратным трехчленом.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной $x$, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Теорема (про разложение квадратного трехчлена на множители): если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни квадратного трехчлена $ax^{2} + bx + c$, то имеет место равенство: $ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$

Доказательство. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни квадратного трехчлена $ax^{2} + bx + c,$ то по теореме Виета $x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}$ и $x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{c}{a}$

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

$a(x - x_{1})(x - x_{2}) = a(x^{2} - xx_{1} - xx_{2} + x_{1}x_{2}) =$

$= a(x^{2} - x(x_{1} + x_{2}) + x_{1}x_{2}) = a \left(x^{2} + \dfrac{b}{a} x + \dfrac{c}{a} \right) = ax^{2} + bx + c$

Следовательно, $ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2}).$ Теорема доказана.