Question

Уравнение sinx=0
Определить равносильны или не равно сильны ему следующие уравнения

варианты ответа:
а) cosx=1
б) tgx=0
в) cos2x=1
Г) √(x-1) * sinx=0

Answer 1

$\sin x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Равносильные уравнения - уравнения, множества решений которых совпадают.

а)

$\cos x=1$

$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Множества решений не совпадают. Уравнения не равносильны.

б)

$\mathrm{tg}x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Уравнения равносильны.

в)

$\cos2x=1$

$2x=2\pi n$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Уравнения равносильны.

г)

$\sqrt{x-1} \cdot\sin x=0$

Уравнение не равносильно заданному, так как в отличие от него имеет как минимум корень $x=1$. Тем не менее, дорешаем уравнение:

$\left[\begin{array}{l} \sqrt{x-1} =0\\ \sin x=0 \\ x-1\geq0 \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\\\pi n-1\geq 0\Rightarrow \pi n\geq 1\Rightarrow n\geq \dfrac{1}{\pi} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=\pi n,\ n\geq 1,\ n\in\mathbb{Z}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=\pi n,\ n\in\mathbb{N}\end{array}$

Множества решений не совпадают. Уравнения не равносильны.

Ответ: равносильные уравнения б) и в), не равносильны - а) и г)