В кубе ABCDA1B1C1D1 через середины ребер BC, B1c1 и точки м, м1, которые делят соответственно рёбра AD и A1DI в отношениях 3:1 проведена плоскость. Найти отношение объёмов меньшей части к большей части, на которые куб делится плоскостью
Ответы
Ответ: 3:5
Объяснение:
Пусть середина ВС- точка Т, а середина В1С1- точка Т1.
Тогда плоскость ММ1Т1Т1 делит куб на две четыхугольные прямые призмы АВТМA1В1Т1М1 -обьем V1 и МТСDМ1Т1С1D1 - обьем V2
Обьем прямой призмы ( общая формула) вычисляется как:
V= Sосн*H , где Sосн - площадь основания , Н - высота призмы.
Соответственно V1/V2= S1 осн*Н1/(S2 осн*Н2)
Поскольку фигура - куб , то Н1=Н2=а а - длина стороны куба.
=> V1/V2= S1осн/S2осн
Рассмотрим четырехугольник АВТМ
ВТ II AM, так как основание куба- квадрат.
Тогда АВТМ - прямоугольная трапеция со сторонами АВ=а=hтрап
ВТ=а/2 AM=a*3/4. Тогда S(ABTM)= S1осн=(a/2+a*3/4)*a/2=a^2*5/8
Аналогично площадь трапеции S(DCTM)=S2осн=(1/2*a+1/4*a)*a=a^2*3/8
Очевидно теперь, что меньшая из призм это МТСDМ1Т1С1D1 ,
- то есть нужно найти V2/V1= S2осн/S1осн= a^2*3/8 : (a^2*5/8)=3:5