Question

Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. ​

Answer 1

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, $AB=BC$, $AH,\,\, CM$ — медианы. По определению медианы $AM=MB$ и $BH=HC$ , но так как $AB=BC$, то $AM=CH=MB=BH$. Рассмотрим треугольники $AMC$ и $AHC$. У них $AM=CH$ и $AC$ — общая, $\angle HCA=\angle MAC$ (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны). Следовательно, $\triangle AMC=\triangle ACH$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенств треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть, $AH=CM.$