Question

Найдите наибольшую площадь трапеции и ее периметр, если три стороны трапеции равны а (через производную)

Answer 1

Пусть $ABCD$ — трапеция. Так как $AB=BC=CD=a$, то эта трапеция равнобедренная. Опустим перпендикуляр $BH$ к большему основанию $AD$. Из прямоугольного треугольника ABH:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-BC}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-a}{2}\right)^2}$

$S=\dfrac{AD+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{\big(AD-a\big)^2}{4}}$

Обозначим $AD=x$ и рассмотрим функцию $S(x)=\dfrac{x+a}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}$

$S'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}+\dfrac{x+a}{2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}\cdot\left(-\dfrac{x-a}{2}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}+\dfrac{a^2-x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=\dfrac{a^2+\dfrac{2ax-2x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=0\\ \\ \\ 2a^2+ax-x^2=0\\ \\ x^2-ax-2a^2=0\\ \\ D=a^2+8a^2=9a^2;~~\sqrt{D}=8a$

$x_1=\dfrac{a+3a}{2}=2a;~~~ x_2=\dfrac{a-3a}{2}=-a$

Значение $x_2<0$, можем отбросить. Функцию $S(x)$ мы исследуем на промежутке решения неравенства $a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}\geq0$ и $a>0$.

$(x-a)^2\leq 4a^2\\ \\ -2a\leq x-a\leq 2a\\ \\ -a\leq x\leq 3a\cup a>0~~\Rightarrow~~ 0<x\leq 3a$

(0)_____+___(2a)___-____(3a)

В точке $x=2a$ функция $S(x)$ имеет наибольшее значение и равна $S(2a)=\dfrac{2a+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{(2a-a)^2}{4}}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Периметр трапеции: $P=a+a+a+2a=5a$