Question

Если уравнение x^3–ax^2+12=0 (a<0) имеет три действительных корня, то, какие знаки имеют каждый из этих корней? ( с объяснением, пожалуйста)

Answer 1

Насколько я понимаю, от a тут ничего не зависит. Произведение корней - число положительное, а значит корни могут быть либо все положительные, либо только один положителен, а остальные два отрицательных.

PS: а еще, насколько я понимаю, тут больше одного корня не может быть никак...

Пусть дана функция:

$f(x) = x^3 - 2ax^2 + 12\\f'(x) = 3x^2 - 4ax\\f'(x) = 0 => x(3x-4a) = 0 => x_1 = 0 \& x_2 = \frac{4}{3}a\\ f(0) = 12\\f(\frac{4}{3}a) = \frac{64}{27}a^3 - \frac{32}{9}a^3 + 12 = -\frac{32}{9}a^3 + 12 > 12$

Потенциальные минимум и максимум функции находятся выше нулю, в верхней полуплоскости, а значит корень всего один.