Question

Найдите наибольшее значение функции

Answer 1

$y = 80x - 80 \, \text{tg} \, x + 20\pi$

Найдем производную функции:

$y' = (80x - 80 \, \text{tg} \, x + 20\pi)' = 80 - \dfrac{80}{\cos^{2}x}$

Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

$y' = 0$

$80 - \dfrac{80}{\cos^{2}x} = 0$

$\dfrac{80}{\cos^{2}x} = 80 \ \ \ |:80$

$\dfrac{1}{\cos^{2}x} = 1$

$\cos^{2}x = 1$

$\displaystyle \left [ {{\cos x = 1 \ \ } \atop {\cos x = -1}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{x = 2\pi n, \ n \in Z \ \ \ \ \ } \atop {x = \pi + 2\pi k, \ k \in Z}} \right.$

Общее решение: $x = \pi n, \ n \in Z$

Найдем критические точки, которые входят в интервал $x \in \left[-\dfrac{\pi}{4}; \ \dfrac{\pi}{3} \right]:$

• если $n = -1$, то $x = -\pi \notin \left[-\dfrac{\pi}{4}; \ \dfrac{\pi}{3} \right]$
• если $n = 0$, то $x = 0 \in \left[-\dfrac{\pi}{4}; \ \dfrac{\pi}{3} \right]$
• если $n = 1$, то $x = \pi \notin \left[-\dfrac{\pi}{4}; \ \dfrac{\pi}{3} \right]$

Найдем значение функции на концах отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{4}; \ \dfrac{\pi}{3} \right]$ и в критической точке $x=0:$

$y\left(-\dfrac{\pi}{4} \right) = 80 \cdot \left(-\dfrac{\pi}{4} \right) - 80 \, \text{tg} \, \left(-\dfrac{\pi}{4} \right) + 20\pi = 80$

$y\left(0 \right) = 80 \cdot 0 - 80 \, \text{tg} \, 0 + 20\pi = 20\pi \approx 62,8$

$y\left(\dfrac{\pi}{3} \right) = 80 \cdot \dfrac{\pi}{3} - 80 \, \text{tg} \, \dfrac{\pi}{3} + 20\pi = \dfrac{140\pi}{3} - 80\sqrt{3} \approx 8$

Таким образом, $y_{\max} = 80$

Ответ: $y_{\max} = 80$