Question

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}-|xy|+2=0,\\ 8-{x}^{2}={\left(x+2y\right)}^{2}.\end{array}\right.$
Заранее спасибо!

Answer 1

Объяснение:

$\left \{ {{y^2-|xy|+2=0|*4} \atop {8-x^2=(x+2y)^2}} \right.\left \{ {{4y^2-4*|xy|+8=0} \atop {8=x^2+(x+y2)^2}} \right. \left \{ {{8=4*|xy|-4x^2} \atop {8=x^2+(x+2y)^2}} \right.\Rightarrow$

$4*|xy|-4y^2=x^2+(x+2y)^2\\4*|xy|-4y^2=x^2+x^2+4xy+4y^2\\4*|xy|=2x^2+4xy+8y^2|:2\\2*|xy|=x^2+2xy+4y^2\\1.\ xy\geq 0\Rightarrow\\2xy=x^2+2xy+4y^2\\x^2+4y^2=0\\x^2-4xy+4xy+4y^2=0\\x^2+2*x*2y+(2y)^2+4xy=0\\(x-2y)^2+4xy=0\\\left \{ {{xy\geq 0} \atop {(x-2y)^2\geq0 }} \right. \Rightarrow\left \{ {{xy=0} \atop {(x-2y)^2}=0 } \right. \left \{ {{xy=0} \atop {x-2y}=0 } \right. \left \{ {{xy=0} \atop {x=2y} } \right. \Rightarrow\\2y*y=0|:2\\y^2=0\\y_1=0\Rightarrow\\x_1=0.$

Подставляем х=0 и у=0 в первое уравнение:

y²-|0*0|+2=0

y²+2=0.

Но у²+2>0    ⇒  корни системы х=0 и у=0 - лишние.

$2.\ xy<0\Rightarrow\\-2xy=x^2+2xy+4y^2\\x^2+4xy+4y^2=0\\x^2+2*x*2y+(2y)^2=0\\(x+2y)^2=0\\x+2y=0\\x=-2y\Rightarrow\\8-(-2y)^2=(-2y+2y)^2\\8-4y^2=0^2\\4y^2=8|:4\\y^2=2\\y_2=\sqrt{2} ;x_2=-2\sqrt{2}.\\y_3=-\sqrt{2} ;x_3=2\sqrt{2}.$

Подставляем х=-2√2 и у=√2 в первое  и второе уравнение:

$\left \{ {{(\sqrt{2)}^2-|-2\sqrt{2} *\sqrt{2}|+2=0 } \atop {8-(-2\sqrt{2} )^2=(-2\sqrt{2}+2*\sqrt{2} )^2 }} \right. \ \left \{ {{2-|2*2|+2=0} \atop {8-4*2=(-2\sqrt{2}+2\sqrt{2})^2 }} \right. \ \left \{ {{4-4=0} \atop {8-8=0^2}} \right. \ \left \{ {{0=0} \atop {0=0}} \right.$

Подставляем х=2√2 и у=-√2 в первое  и второе уравнение:

$\left \{ {{(-\sqrt{2})^2-|2\sqrt{2}*(-\sqrt{2})|+2=0 } \atop {8-(2\sqrt{2})^2}=(2\sqrt{2}+2*(-\sqrt{2}))^2 }} \right. \ \left \{ {{2-2*2+2=0} \atop {8-4*2=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2})^2 }} \right. \ \left \{ {{4-4=0} \atop {8-8=0^2}} \right. \ \left \{ {{0=0} \atop {0=0}} \right. \Rightarrow$

Ответ: x₁=-2√2    y₁=√2    x₂=2√2     y₂=-√2.