Question

ТЕ, КТО РАЗБИРАЕТСЯ В МАТЕМАТИКЕ! ОБЪЯСНИТЕ, УМОЛЯЮ!

Дано тригонометрическое уравнение: sin2x+2sinx=1+cosx

Мне нужно найти корни, принадлежащие отрезку [-4; -3].

Я решила уравнение, но не понимаю как отобрать корни!! Ведь мне даны не градусы и не радианы, а обычные числа. КАК ЭТО ВООБЩЕ ПОНЯТЬ???? ОБЪЯСНИТЕ

Answer 1

$sin2x + 2sinx = 1 + cosx\\2sinxcosx+2sinx=1+cosx\\2sinx(1+cosx) = 1 + cosx\\(2sinx-1)(1+cosx) = 0\\sinx = \frac{1}{2} => x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z\\ cosx = -1 => x = \pi + 2\pi m, m \in Z\\x \in [-4;-3]\\-4 < (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n < -3\\-24 < (-1)^n\pi+6\pi n < -18$

Подставляем n = 0 - неравенство не выполнено. n = 1 - неравенство не выполнено. Следовательно, при n ≥ 0 решений не будет, т.к.  (-1)^n + 6n - функция возрастающая.

Пусть n = -1, тогда выражение $(-1)^n\pi + 6\pi n = -7\pi.$ Так как 3.14 < π < 3.15, то

-22.05  < -7π < -21.98. Очевидно, оно попадает на промежуток (-24; -18). Значит, при n = -1 решение есть на данном отрезке. Подставим n = -1 в серию корней:

$x = (-1)^{-1}*\frac{\pi}{6} + \pi * (-1) = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7}{6}\pi \approx -3.6652$

Такими же рассуждениями приходим к тому, что n ≤ -2 так же не являются решениями.

Теперь рассмотрим вторую серию корней:

$-4 < \pi + 2\pi m < -3$

Тут совсем все просто: при m = 0, очевидно, неравенство не выполнено. При m = 1 так же. Так как выражение $\pi + 2\pi m$ при возрастании m увеличивается, то и m ≥ 2 также не подходят.

Пусть m = -1, тогда:

$-4 < \pi + 2\pi * (-1) < -3\\-4 < -\pi < -3\\-\pi \approx -3.1415926$

Очевидно, что это так. Подставляя m = -2 понимаем, что число меньше -4.

Вопросы ниже в комменты.

Ответ: $x_1 = -\frac{7}{6} \pi\\x_2 = -\pi$