Question

Помогите с тригонометрией. Здравствуйте, на просторах знания.ком случайно нашел вопрос, который очень заинтересовал меня. Вот он: "1/cosx+1/sinx=-2корня из 2. Не решается вообще. Нужна помощь". Я прорешал его сам и у меня получился ответ: x=pi/4+pi*n, Где n целое число, но в ответах оказался совсем другой ответ, да и решение(Фото прилагается). Почему автор не учитывает ОДЗ, а именно cosx не равно нулю и sinx не равно нулю? Тогда получается что его ответ неверный. Вот собственно мое решение(Как по мне наиболее простое и лаконичное. Если я не прав пожалуйста укажите ошибки в моих размышлениях). Решение: 1) 1/sinx+1/cosx=-2корня из 2 2)cosx+sinx/sinx*cosx=-2корня из 2 3)Запишем ОДЗ, что синус и косинус не равны нулю и перемножим на них обе части 4)Получилось: sinx+cosx=-2корня из 2*sinx*cosx 5)Возведем обе части в квадрат: sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=8cos^2x*sin^2x 6) Сумма квадратов равна 1, а по формуле двойного угла синуса получаем: 1+2sinxcosx=2sin2x => 1+sin2x-2sin2x=0 В итоге sin2x=1 и ответ который я написал выше. Повторяю, если я не прав то распишите почему мое решение неверное. Спасибо.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Почему автор не учитывает ОДЗ, а именно $\cos x \neq 0$  и $\sin x \neq 0$?

$\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ не являются решениями:

$\sin x + \cos x = -2 \sqrt{2} \sin x \cos x$

Пусть $\sin x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ - невозможно

Пусть $\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$ - невозможно

2) Ваш ответ, к сожалению, неверен.

Например, возьмём $x = \dfrac{\pi}{4}$:

$\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = 2 \sqrt{2} \neq -2 \sqrt{2}$

Во-первых, Вы возводите уравнение в квадрат, это неэквивалентное преобразование - так Вы легко можете найти дополнительные неверные решения. Например, если неверное равенство $-1 = 1$ возвести в квадрат, то оно станет верным $1 = 1$. Поэтому при таком решении обязательно в самом конце подставить все найденные решения в исходное уравнение и отобрать из них верные.

Во-вторых, основная Ваша ошибка находится в пункте 6:

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 8 \cos^2 x \sin^2 x$

$1 + \sin 2x = 2 \sin^2 2x$, а у вас справа просто $2 \sin 2x$ - без квадрата.

3) Приложенное решение, как минимум, тоже имеет опечатку:

$\cos \tfrac{4x - \pi}{8} = 0$

$\dfrac{4x - \pi}{8} = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ - там же $8$ в знаменателе упущена

В остальном, я считаю, что приложенное решение верное.