Question

Решите уравнение $\sqrt{1 - x^{2}} = 4x^{3} - 3x$

Answer 1

$\sqrt{1 - x^{2}} = 4x^{3} - 3x$

Первый способ

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\displaystyle \left \{ {{f(x) = g^{2}(x)} \atop {g(x) \geqslant 0 \ \ \ \ \ \, }} \right.$

Тогда имеем:

$\displaystyle \left \{ {{1 - x^{2} = (4x^{3} - 3x)^{2}} \atop {4x^{3} - 3x \geqslant 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, }} \right.$

Решим неравенство $4x^{3} - 3x \geqslant 0$ методом интервалов.

ОДЗ: $x \in (-\infty; \ +\infty)$

Пересечение с осью абсцисс:

$4x^{3} - 3x = 0$

$x(4x^{2} - 3) = 0$

$\displaystyle \left [ {{x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {4x^{2} - 3 = 0}} \right. \ \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = 0 \ \ \ \ \ \ \\x_{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\x_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \ \end{array}\right$

Тогда решением неравенства будет интервал:

$x \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)$

Решим уравнение $1 - x^{2} = (4x^{3} - 3x)^{2}$

$1 - x^{2} = 16x^{6} - 24x^{4} + 9x^{2}$

$16x^{6} - 24x^{4} + 10x^{2} - 1 = 0$

$16x^{6} - 8x^{4} - 16x^{4} + 8x^{2} + 2x^{2} - 1 = 0$

$8x^{4}(2x^{2} - 1) - 8x^{2} (2x^{2} - 1) + (2x^{2} - 1) = 0$

$(2x^{2} - 1)(8x^{4} - 8x^{2} + 1) = 0$

$\displaystyle \left [ {{2x^{2} - 1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {8x^{4} - 8x^{2} + 1 = 0}} \right.$

Решим уравнение $2x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} = \dfrac{1}{2}$

$x_{1} = \sqrt{\dfrac{1}{2} } = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \notin \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)$

$x_{2} = -\sqrt{\dfrac{1}{2} } = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right]$

Решим уравнение $8x^{4} - 8x^{2} + 1 = 0$

Замена: $x^{2} = t, \ t \geqslant 0$

$8t^{2} - 8t + 1 = 0$

$D = (-8)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 64 - 32 = 32$

$t_{1} = \dfrac{-(-8) + \sqrt{32}}{2 \cdot 8} = \dfrac{8 + 4\sqrt{2}}{16} = \dfrac{4(2 + \sqrt{2})}{16} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$t_{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Обратная замена:

$1) \ x^{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$x_{1} = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} } = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \in \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)$

$x_{2} = -\sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} } = -\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \notin \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)$

$2) \ x^{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$x_{1} = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} } = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \notin \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)$

$x_{2} = -\sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} } = -\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right]$

Получили три решения исходного уравнения:

$x_{1} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$x_{2} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$x_{3} = -\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Второй способ

Поскольку должно выполнятся условие $1 - x^{2} \geqslant 0$, то $|x| \leqslant 1$

Тогда можно сделать тригонометрическую подстановку: $x = \cos \alpha , \ \alpha \in [0; \ \pi]$

Тогда данное уравнение можно записать так:

$\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha } = 4\cos^{3}\alpha - 3\cos \alpha$

$\sqrt{\sin^{2} \alpha } = \cos 3\alpha$

$|\sin \alpha | = \cos 3\alpha$

При $\alpha \in [0; \ \pi]$ является правильным неравенство $\sin x \geqslant 0$

Имеем: $\sin \alpha = \cos 3\alpha$

$\sin \alpha = \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - 3\alpha \right)$

$\sin \alpha - \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - 3\alpha \right) = 0$

$2\cos \dfrac{\pi - 4\alpha }{4} \sin \dfrac{8\alpha - \pi}{4} = 0$

$\displaystyle \left [ {{\cos \dfrac{\pi - 4\alpha}{4} = 0} \atop {{\sin \dfrac{8\alpha - \pi}{4} = 0}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{\dfrac{\pi - 4\alpha }{4} = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}} \atop {\dfrac{8\alpha - \pi}{4} = \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \ \ \ \ \ \ \,}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{\alpha = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}} \atop {\alpha = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \ }} \right.$

Из решений совокупности выберем те, которые удовлетворяют условие $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$

Это числа $\dfrac{\pi}{8}, \ \dfrac{5\pi}{8}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$

Ответ: $\cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ; \ \cos \dfrac{5\pi}{8} = -\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}; \ \cos \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$