Question

вычислите S=2/(4∙2!)+2/(5∙3!)+2/(6∙4!)+2/(7∙5!)+2/(8∙6!)+⋯.

Answer 1

Сразу вынесем 2 за скобку. Считаем сумму $\frac{1}{4\times2!}+\frac{1}{5\times 3!}+...=\sum\limits_{t=2}^{\infty}\frac{1}{(t+2)t!}$, причем легко показать, что эта сумма сходится. Действительно, эта сумма меньше, чем $\sum\limits_{t=0}^{\infty}\frac{1}{t!}=e$.

Перепишем общий член нашей суммы: $\frac{1}{(t+2)t!}=\frac{(t+1)}{(t+2)(t+1)t!}=\frac{t+1}{(t+2)!}=\frac{t+2-1}{(t+2)!}=\frac{1}{(t+1)!}-\frac{1}{(t+2)!}$. Имеем: $S=2\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{t=2}^N ({\frac{1}{(t+1)!}-\frac{1}{(t+2)!})=2\lim\limits_{N\to\infty}(\frac{1}{3!}-\frac{1}{(N+2)!})=2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.