Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение

Answer 1

Ответ:

6.25

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

$6.25$

Объяснение:

$sin(\pi\sqrt{x-4})sin(\pi\sqrt{x+6})=1\\cos(\pi(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6})-cos(\pi(\sqrt{x-4}+\sqrt{x+6}))=2$

Перейдем к системе:

$cos(\pi(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}))=1\\cos(\pi(\sqrt{x-4}+\sqrt{x+6}))=-1$

Решим первое уравнение системы:

$cos(\pi(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}))=1\\\pi(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6})=2n\pi,\;n\in Z\\\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}=2n,\;n\in Z$

Заметим, что $\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}$ - отрицательное число, если $x\ge 4$. Функция $f(x)=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}$ возрастает на всей области определения, поэтому наименьшее значение она принимает при $x=4$: $f(4)=\sqrt{4-4}-\sqrt{4+6}=-\sqrt{10}$. Единственное значение, которое принимает $2n,\;n\in Z$ на промежутке $[-\sqrt{10};\;0)$ - это $-2$.

Тогда достаточно решить уравнение $\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}=-2$.

Решим уравнение:

$\sqrt{x-4}-\sqrt{x+6}=-2$

Получим, что $x=6.25$.

Теперь осталось проверить, будет ли этот корень являться корнем второго уравнения системы:

$cos(\pi(\sqrt{6.25-4}+\sqrt{6.25+6}))=cos\left(\pi\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{2}\right)\right)=cos5\pi=1$

Значит $x=6.25$ - корень исходного уравнения.

Уравнение решено!