Question

Найти множество значений выражения
(x+y) (3-4xy), если x^2+y^2=3

Answer 1

Ответ:  Множество значений: [-3*√6; 3*√6]

Пошаговое объяснение:

Поскольку :

x^2+y^2 = 3

То справедливо, что

x=√3 *cos(r) ; y =√3*sin(r)

Пусть : x+y = t

t= x+y = √3 *cos(r) + √3*sin(r)  = √6 * cos(r-pi/4)

-√6<=t<=√6

t^2= x^2+2*x*y+y^2

2*x*y = t^2 -3

-4*x*y = -2*t^2+6

(x+y)*(3-4*x*y) =  t *(-2*t^2+9) =  -2*t^3 +9*t

То есть необходимо найти область значений функции:

f(t) = 9*t -2t^3  при  t∈[-√6;√6] - функция нечетная :

f(-t) = -f(t)

Найдем экстремумы:

f'(t) = 9-6*t^2 = 0

t^2 = 9/6 =3/2

t=+-√(3/2) = +-√6/2 ( √6/2- т. максимума ; √6/2 - т. минимума)

f(+-√(3/2) ) = +-(9*√6/2 -2*6/4 *√6/2 ) = +-( √6*6/2 ) = +-3√6

f(+-√6) = +-(9*√6-2*6*√6) = -+3√6

Как видим, поскольку данная функция непрерывна, то область значения функции f(t)∈ [-3*√6; 3√6] → (x+y)*(3-4*x*y) ∈ [-3*√6; 3*√6]