Question

Числитель и знаменатель некоторой дроби – натуральные числа, причем знаменатель на 4 больше числителя. Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое. Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое. Найдите эту дробь.

Answer 1

Перепишем языком математики

Дробь имеет вид n/(n+4)

Вторая дробь (n+6)/(n+8) менее чем в два раза больше первой, поэтому

$\displaystyle\\\frac{n+6}{n+8} / \frac{n}{n+4} < 2\\(n+6)(n+4) < 2n(n+8)\\n^2+6n-24 > 0$

Третья дробь (n+8)/(n+5) более чем в три раза больше первой, поэтому

$\displaystyle\\\frac{n+8}{n+5}/\frac{n}{n+4} > 3\\(n+8)(n+4) > 3n(n+5)\\2n^2+3n-32$

Решение первого неравенства можно записать в виде (помня что n больше нуля и вообще натуральное)

$n>-3+\sqrt{33}\approx 2.74\\n\geq3$

Решение второго неравенства можно записать в виде

$n<(3+\sqrt{265})/4\approx 3.31\\n\leq3$

Остается единственный вариант n=3 и дробь это 3/7