Question

Решите уравнение 21​

Answer 1

По формуле синуса двойного угла   $sin4x =2 sin2x \cdot cos2x$

Уравнение принимает вид:

$2 sin2x \cdot cos2x-(1+\sqrt{2})(sin2x+cos2x)+(1+\sqrt{2})=0$

Замена переменной:

$sin2x+cos2x=t$

Возводим в квадрат:

$sin^22x+2sin2x\cdot cos2x+cos^2x=t^2$    ⇒         $2sin2x\cdot cos2x=t^2-1$

$t^2-1-(1+\sqrt{2})t+(1+\sqrt{2})=0$

$t^2-(1+\sqrt{2})t+\sqrt{2}=0$

$D=(1+\sqrt{2})^2-4\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+4-4\sqrt{2}=1-2\sqrt{2}+4=(1-\sqrt{2})^2$

$t_{1}=\sqrt{2}$                           или                      $t_{1}=1$

Обратная замена:

$sin2x+cos2x=\sqrt{2}$                       или      $sin2x+cos2x=1$

По формулам приведения:         $sin2x=cos(\frac{\pi }{2} -2x)$

$cos(\frac{\pi}{2}- 2x)+cos2x=\sqrt{2}$        или      $cos(\frac{\pi }{2} -2x)+cos2x=1$

По формуле суммы косинусов:

$2cos\frac{(\frac{\pi}{2}- 2x)+2x}{2}\cdot cos\frac{(\frac{\pi}{2}- 2x)-2x}{2}=\sqrt{2}$     или      $2cos\frac{(\frac{\pi}{2}- 2x)+2x}{2}\cdot cos\frac{(\frac{\pi}{2}- 2x)-2x}{2}=1$

$2cos\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{4}-2x)=\sqrt{2}$     или      $2cos\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{4}-2x)=1$

Так как    $cos\frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2}$

$cos(\frac{\pi}{4}-2x)=1$                     или      $cos(\frac{\pi}{4}-2x)=\frac{\sqrt{2} }{2}$

Так как    $cos(\frac{\pi}{4}-2x)=cos(2x-\frac{\pi}{4})$

$2x-\frac{\pi}{4}=2\pi k, k \in Z$              или         $2x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+ 2\pi n, n \in Z$

$x=\frac{\pi}{8}+\pi k, k \in Z$   или   $x=\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in Z$    или   $x= \pi m, m \in Z$

О т в е т.      $\frac{\pi}{8}+\pi k, k \in Z;$    $\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in Z;$     $\pi m, m \in Z.$