Question

Решить уравнение при 2 < x < 10

Answer 1

$3^{\frac{1}{2}+log_{3}cos\frac{\pi x }{3} }=3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{log_{3}cos\frac{\pi x }{3} }}=3^{\frac{1}{2}}\cdot cos\frac{\pi x}{3}$

$9^{\frac{1}{2}+log_{9}sin \frac{\pi x }{3} }=9^{\frac{1}{2}}\cdot 9^{log_{9}sin \frac{\pi x }{3} }}=9^{\frac{1}{2}}\cdot sin \frac{\pi x}{3}$

$3^{\frac{1}{2}}\cdot cos \frac{\pi x}{3} +6^{\frac{1}{2}}=9^{\frac{1}{2}}\cdot sin \frac{\pi x}{3}$

Делим обе части уравнения на $3^{\frac{1}{2}}$

$cos \frac{\pi x}{3} +2^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot sin \frac{\pi x}{3}$

$cos \frac{\pi x}{3} - \sqrt{3}\cdot sin \frac{\pi x}{3}=-\sqrt{2}$

Делим на 2:

$\frac{1}{2} cos \frac{\pi x}{3} -\frac{ \sqrt{3}}{2}\cdot sin \frac{\pi x}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Применяем вспомогательный угол:

$cos\alpha =\frac{1}{2}$;   $sin\alpha= \frac{ \sqrt{3}}{2}$    ⇒   $\alpha =\frac{\pi }{3}$

$\cos\frac{\pi}{3} cos \frac{\pi x}{3} -sin \frac{\pi}{3} \cdot sin \frac{\pi x}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Применяем формулу косинуса суммы:

$\cos(\frac{\pi}{3}+ \frac{\pi x}{3}) =-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\pi}{3}+ \frac{\pi x}{3} =\pm\frac{3 \pi }{4}+2 \pi n, n \in Z$

$\frac{1}{3}+ \frac{x}{3} =\pm\frac{3 }{4}+2 n, n \in Z$   ⇒  $x= \pm \frac{9}{4}-1+6n, n \in Z$

$x= \frac{5}{4}+6n, n \in Z$    или  $x= \frac{13}{4}+6n, n \in Z$

Условию  2 < x < 10  удовлетворяют корни:

$\frac{5}{4}+6=\frac{29}{4}$

$x= \frac{13}{4}$

$x= \frac{13}{4}+6=\frac{37}{4}$