Question

Решите, пожалуйста, пример.
Ответ нужен с решением.
tgx=tg5x

Answer 1

$\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}5x$

Перенесем все в одну часть:

$\mathrm{tg}5x-\mathrm{tg}x=0$

Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:

$\dfrac{\sin5x}{\cos5x} -\dfrac{\sin x}{\cos x} =0$

Приведем к общему знаменателю:

$\dfrac{\sin5x\cos x-\sin x\cos5x}{\cos5x\cos x} =0$

Заметим в числителе формулу синуса разности:

$\dfrac{\sin(5x-x)}{\cos5x\cos x} =0$

$\dfrac{\sin4x}{\cos5x\cos x} =0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменателе нулю не равен:

$\begin{cases} \sin4x=0\\ \cos5x\cos x\neq0 \end{cases}$

Найдем, при каких х числитель равен нулю:

$\sin4x=0$

$4x=\pi n$

$x=\dfrac{\pi n}{4} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Найдем при каких х знаменатель обращается в ноль:

$\cos5x\cos x\neq0$

$\left[\begin{array}{l} \cos5x\neq0\\ \cos x\neq0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 5x\neq\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ x\neq\dfrac{\pi}{2}+\pi n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x\neq\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi n}{5} \\ x\neq\dfrac{\pi}{2}+\pi n\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия "посторонних корней" $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$  входит в решение $x=\dfrac{\pi n}{4} ,\ n\in\mathbb{Z}$. Значит, их необходимо исключить из решения.

Представив первую серию "посторонних корней" в виде $x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\pi n}{10},\ n\in\mathbb{Z}$, понимаем, что других посторонних корней в решении $x=\dfrac{\pi n}{4} ,\ n\in\mathbb{Z}$ нет.

Таким образом, среди серии корней $x=\dfrac{\pi n}{4} ,\ n\in\mathbb{Z}$, обращающих в ноль числитель, встречаются корни $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$, обращающие в ноль знаменатель. Значит, это посторонние корни, и их необходимо исключить из решения.

Итоговый ответ:

$x=\pi n,\ x=\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi n ,\ n\in\mathbb{Z}$