Question

Описать способ решения подобных уравнений, как определить область значения после замены переменой ? $xy(3-2x^2)(3-2y^2)$, если $x^2+y^2=2$ (Найти множество значений)

Answer 1

Очевидно что точка (x;y) лежит на окружности радиусом корень из двух. Положение точки на окружности определяется углом альфа, так что

$x = \sqrt{2}\cos\alpha\\y = \sqrt{2}\sin\alpha$

Подставим это в выражение

$xy(3-2x^2)(3-2y^2) = 2\sin\alpha\cos\alpha(3-4\cos^2\alpha)(3-4\sin^2\alpha) = \\=\sin 2\alpha(3-2(1+\cos 2\alpha))(3-2(1-\cos2\alpha))=\\=\sin2\alpha(1-2\cos2\alpha)(1+2\cos2\alpha) = \\=\sin2\alpha(1-4\cos^2 2\alpha) = \sin 2\alpha(4\sin^2 2\alpha -3) = -\sin6\alpha$

Очевидно синус не бывает больше 1 по модулю, поэтому множество значений это отрезок от -1 до 1