Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РАЗОБРАТЬСЯ
СРОЧНО
35 БАЛЛОВ​

Answer 1

Ответ:

$x_1 := \sqrt{a}, \quad x_2 := \sqrt{b}, \quad x_3 := \sqrt{c}$

По неравенству между средними квадратическим и гармоническим:

$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{3}} \geqslant \dfrac{3}{\tfrac{1}{x_1} + \tfrac{1}{x_2} + \tfrac{1}{x_3}}$

$\sqrt{\dfrac{a + b + c}{3}} \geqslant \dfrac{3}{\tfrac{1}{\sqrt{a}} + \tfrac{1}{\sqrt{b}} + \tfrac{1}{\sqrt{c}}}$

$\sqrt{\dfrac{3}{3}} \geqslant \dfrac{3}{\tfrac{1}{\sqrt{a}} + \tfrac{1}{\sqrt{b}} + \tfrac{1}{\sqrt{c}}}$

$\sqrt{1} \geqslant \dfrac{3}{\tfrac{1}{\sqrt{a}} + \tfrac{1}{\sqrt{b}} + \tfrac{1}{\sqrt{c}}}$

$1 \geqslant \dfrac{3}{\tfrac{1}{\sqrt{a}} + \tfrac{1}{\sqrt{b}} + \tfrac{1}{\sqrt{c}}}$

$\tfrac{1}{\sqrt{a}} + \tfrac{1}{\sqrt{b}} + \tfrac{1}{\sqrt{c}} \geqslant 3$

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Все переменные в выражении и ограничении равнозначны, нет выделенных. Поэтому условный  экстремум, если он  есть, будет достигаться при равных значениях переменных a,b и с. Из первого условия следует, что такое значение 1. В точке (1,1,1) функция $f(a,b,c)=\frac{1}{\sqrt{a} } +\frac{1}{\sqrt{b} } +\frac{1}{\sqrt{c} }$ принимает значение 3. Вычислим значение функции в точке $(1,\frac{1}{4},\frac{3}{4})$ оно равно

$1+2+\frac{2}{\sqrt{3} } >3$ . Значит точка 3 это возможный локальный минимум.

Для поиска условного экстремума запишем функцию Лагранжа и найдем eё экстремум

$L(a,b,c)=f(a,b,c)+\lambda(a+b+c-3)$

$\frac{dL}{da} =-\frac{1}{2a\sqrt{a}}+\lambda$

$\frac{dL}{db} =-\frac{1}{2b\sqrt{b}}+\lambda$

$\frac{dL}{dc} =-\frac{1}{2c\sqrt{c}}+\lambda$

Приравнивая частные производные к 0, получаем значения для a,b и с.

Как и ожидалось они одинаковые и равны $\frac{1}{(2\lambda)^{\frac{2}{3} } }$  Подставляя в первое условие, получаем $\lambda=\frac{1}{2}$. Точки экстремума 1,1,1

Следующий шаг это определение знака второго дифференциала функции Лагранжа в найденной точке.

Он равен $\frac{3}{4}(d^{2}a+d^{2}b+d^{2}c ) >0$ . Значит это точка минимума.