Question

Помогите ,пожалуйста, с примером. Ответ должен получиться: 8

Answer 1

Решение:

Заметим, что основание логарифма  $\log_{1/2} \bigg ( \log_3 \dfrac{x-4}{x-6} \bigg )$ меньше единицы. Это означает, чтобы значение самого логарифма было больше ноля (как требуется в неравенстве), нужно, чтобы его подлогарифмическое выражение было тоже меньше единицы (и больше ноля, в силу области определения логарифмических выражений):

$0 < \log_3 \dfrac{x-4}{x-6} < 1$

Все это можно довести до метода интервалов:

$\log_3 1 < \log_3 \dfrac{x-4}{x-6} < \log_3 3 \\\\1 < \dfrac{x-4}{x-6} < 3$

Первое неравенство $\dfrac{x-4}{x-6} < 1$ можно решить так:

$\displaystyle \dfrac{x-4}{x-6} > 1 \\\\\displaystyle \dfrac{x-4}{x-6} - 1 > 0 \\\\\displaystyle \dfrac{2}{x-6} > 0$

      - - -                     + + +

__________$( \; 6 \; )$__________           $x > 6$

Второе неравенство $\dfrac{x-4}{x-6} < 3$ решается схожим образом:

$\displaystyle \dfrac{x-4}{x-6} < 3 \\\\\displaystyle \dfrac{x-4}{x-6} - 3 < 0 \\\\\displaystyle \dfrac{-2x+14}{x-6} < 0$

     - - -                   + + +                   - - -

_________$( \; 6 \; )$_________$( \; 7 \; )$_________       Или $x<6$, или $x>7$.

Как пересечение решений двух неравенств имеем решение $x>7$.

$x \in (7; + \infty )$

Значит, наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству - это  $x=8$, что сходится  с ответом.

Ответ: 8.