Question

Доказать, что n! не делится на 2^n (n>=1)

Answer 1

Сравним степени вхождения двойки в $2^n$ и $n!$. В первом случае, очевидно, $v_{2}(2^{n})=n$. Во втором: $v_{2}(n!)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}[\frac{n}{2^{i}}]< \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{n}{2^{i}}=n$. Поэтому $2^{n} \nmid n!$