Question

Помогите Решить уравнение по алгебре.

Answer 1

Ответ: x=7/4

Объяснение:

√(3x+1)/x  + 4*(√(3x+1)/3 -√(4x-3) ) = 13/3  - 4x -1/x

ОДЗ : x>=3/4

Поскольку x≠0 , умножим обе части уравнения на 3x :

3*√(3x+1) +4x*√(3x+1) -12*x*√(4x-3) = -12*x^2+13*x-3

√(3x+1)*(4x+3) -12*x*√(4x-3) +12*x^2 -13*x +3 = 0

√(3x+1)*(4x+3) +(12*x^2 -9x - 12*x*√(4x-3) +12*x) -16*x+3=0

Заметим, что :

12*x^2 -9x - 12*x*√(4x-3) +12*x = 3*x*( 4x-3 -4*x*√(4x-3) +4) =

=3*x*( √(4x-3) -2 )^2

√(3x+1)*(4x+3)  -16*x +3 + 3*x*( √(4x-3) -2 )^2 = 0

Разложим отдельно выражение:

√(3x+1)*(4x+3)  -16*x +3 =

=√(3x+1)*(4x+3) +4x +3 -20*x = (√(3x+1) +1)*(4x+3)-20*x

Заметим, что  3x = (√(3x+1) )^2 - 1 = (√(3x+1) -1)*(√(3x+1) +1)

(√(3x+1) +1)*(4x+3)-20*x  =

=(√(3x+1) +1)*(4x+3) -20/3 *(√(3x+1) -1)*(√(3x+1) +1) =

=(√(3x+1) +1)*(4x+3-20/3 *(√(3x+1) -1) ) =  

=1/3 * (√(3x+1) +1)*(12x+9-20*√(3x+1) +20 )

Упростим отдельно:

12x+9-20*√(3x+1) +20  = 12x+4 -20*√(3x+1) +25 = (2*√(3x+1) -5)^2

1/3 * (√(3x+1) +1)*(12x+9-20*√(3x+1) +20 )  =

=1/3 *(√(3x+1) +1)*(2*√(3x+1) -5)^2                              

Таким образом, уравнение принимает вид :

1/3 *(√(3x+1) +1)*(2*√(3x+1) -5)^2 + 3*x*( √(4x-3) -2 )^2 = 0

Поскольку радикал положителен, то

1) 1/3 *(√(3x+1) +1)*(2*√(3x+1) -5)^2 >=0

Поскольку  x>=3/4 >0

2) 3*x*( √(4x-3) -2 )^2 >=0

Но тогда сумма выражений 1) и 2) может быть равна 0, только когда оба выражения 1) и 2)  одновременно равны 0.

1) 3*x*( √(4x-3) -2 )^2 = 0

   x≠0

√(4x-3) -2 = 0

√(4x-3) = 2

4x-3 =4

x=7/4 > 3/4

2) (√(3x+1) +1)*(2*√(3x+1) -5)^2 =0

√(3x+1) +1 =0

√(3x+1) =-1 ( нет решений)

2*√(3x+1) -5 = 0

2*√(3x+1) = 5

4*(3x+1) =25

12x+4=25

12x=21

x=21/12 = 7/4

Таким образом, корень совпадает, а значит уравнение имеет единственное решение : x=7/4