Question

Доказать ограниченность последовательности $(1+1/n)^n$

Answer 1

Докажем неравенство Бернулли: $(1+x)^{n}\geq 1+nx$, $x\geq -1,\; n\in \mathbb{N}_{0}$.

База индукции: $n=0$ — тут очевидно.

Пусть выполняется для некоторого $n=k$, покажем, что выполняется для $n=k+1$: $(1+x)^k\geq 1+kx \Rightarrow (1+x)^{k+1}\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\geq 1+(k+1)x$.

Рассмотрим последовательность $x_{n}=(1+1/n)^{n+1}$ (степень специально на 1 больше — это потребуется при применении неравенства Бернулли)

$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{n+1}{n}(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2})^{n+2}$. $(\frac{(n+1)^2}{n^2+2n})^{n+2}=(1+\frac{1}{n^2+2n})^{n+2}\geq 1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$. Поэтому $\frac{x_{n+1}}{x_{n}} \leq \frac{n+1}{n}\times \frac{n}{n+1}=1$, значит, $x_{n}$ убывает (монотонно). Понятно, что $x_{n}$ ограничена снизу хотя бы нулем, поэтому имеет предел. Поскольку $(1+1/n)^n=x_n/(1+1/n)$, то $(1+1/n) ^n$ ограничена сверху, причем тем же числом, каким $x_{n}$ ограничена снизу.