Question

Решите уравнение:
(sinx-3cosx)(1+cosx)=$4 { \sin(x) }^{2}$

Нужно решение с разными способами, кидайте кто как решил​

Спасибо

Answer 1

.........................

Answer 2

Ответ:

$\pi+2n\pi,\;n\in Z$

Пошаговое объяснение:

Один способ вам уже предложили.

Я предложу другой:

$(sinx-3cosx)(1+cosx)=4sin^2x$

Выполним замену $sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}$, а $cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, где $t=tg\dfrac{x}{2}$.

При $x\ne\pi+2n\pi,\;n\in Z$ верно:

$\left(\dfrac{2t}{1+t^2}-3\times\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)\left(1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)=4\times\dfrac{4t^2}{(1+t^2)^2}\\\dfrac{2(2t-3+3t^2)}{(1+t^2)^2}-\dfrac{16t^2}{(1+t^2)^2}=0\\\dfrac{1}{(1+t^2)^2}(2t-3+3t^2-8t^2)=0$

Т.к. $\dfrac{1}{(1+t^2)^2}> 0$, то уравнению выше равносильно:

$5t^2-2t+3=0\\\dfrac{D}{4}=1-15=-14<0$

Уравнение не имеет корней.

Тогда осталось проверить, будет ли $\pi+2n\pi,\;n\in Z$ являться корнем уравнения. Получим, что да, будет. Поэтому ответ $x=\pi+2n\pi,\;n\in Z$.

Уравнение решено!