Question

Помогите решить пожалуйста.

Answer 1

$2a+8a\geq 8+8a^2$

ОДЗ:

$\left \{ {{64-y^2 >0} \atop {64-a^2x^2>0}} \right.$      $\left \{ {{|y| <8} \atop {|ax| <8}} \right.$    

Применяем свойство монотонности логарифмической функции:

каждое свое значение функция принимает в одной точке, поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны.

Система принимает вид:

$\left \{ {{64-y^2=64-a^2x^2} \atop {x^2+y^2=2x+8y}} \right.$        $\left \{ {{y^2=a^2x^2} \atop {x^2+y^2=2x+8y}} \right.$     $\left \{ {{|y|=|ax|}} \atop {x^2+y^2=2x+8y}} \right.$  

Если x >0; y>0  или  x <0; y <0      или    если  x<0; y >0 или x <0; y >0

$\left \{ {{y=ax}} \atop {x^2+y^2=2x+8y}} \right.$                                    или                 $\left \{ {{y=-ax}} \atop {x^2+y^2=2x+8y}} \right.$

Решаем каждую  систему способом подстановки:

$\left \{ {{y=ax}} \atop {x^2+(ax)^2=2x+8\cdot (ax)}} \right.$                            или                 $\left \{ {{y=-ax}} \atop {x^2+(-ax)^2=2x+8\cdot (-ax)}} \right.$

$\left \{ {{y=ax}} \atop {(1+a^2)x^2-(2+8a)x=0}} \right.$                           или                   $\left \{ {{y=-ax}} \atop {(1+a^2)x^2-(2-8a)x=0}} \right.$

$\left \{ {{y=ax}} \atop {x=0} \right.$     или     $\left \{ {{y=ax}} \atop {x=\frac{2+8a}{1+a^2}}} \right.$                   или                $\left \{ {{y=-ax}} \atop {x=0} \right.$       или        $\left \{ {{y=-ax}} \atop {x=\frac{2-8a}{1+a^2}}} \right.$

При  x >0; y>0  или  x <0; y <0      или     при  x<0; y >0 или x <0; y >0

т. е

xy >0                                                или       xy <0

$x\cdot y=x\cdot a\cdot x=ax^2$⇒  a >0             или     $x\cdot y=x\cdot (-a\cdot x)=-ax^2$⇒ a >0

Видно, что  обе системы имеют общее решение х=0; y=0

Значит, чтобы выполнялось требование задачи

второе решение одной из систем не должно удовлетворять ОДЗ.

$|a\cdot \frac{2+8a}{1+a^2}|\geq8}} \right.$                                      или                $|-a\cdot \frac{2-8a}{1+a^2}|\geq8$

$\frac{2a+8a^2}{1+a^2} \leq -8$  или   $\frac{2a+8a^2}{1+a^2} \geq 8$            или        $\frac{-2a+8a^2}{1+a^2} \leq -8$    или    $\frac{-2a+8a^2}{1+a^2} \geq 8$

Получаем 4 неравенства:

$2a+8a^2\leq -8-8a^2$     ⇒      $16a^2+2a+8 \leq 0$  нет таких а;   D <0

или

$2a+8a^2\geq 8+8a^2$     ⇒      $2a\geq 8$      ⇒     $a\geq 4$

или

$-2a+8a^2\leq -8-8a^2$    ⇒      $16a^2-2a+8 \leq 0$   нет таких а;   D <0  

или

$-2a+8a^2\geq 8+8a^2$      ⇒      $-2a\geq 8$      ⇒     $a\leq -4$

При a ∈(-∞;-4] U [4; +∞)   одно из решений системы не входит в ОДЗ, значит система имеет ровно 2 решения

C  учетом условия: a > 0

О т в е т.  [4; +∞)  

Так как второе уравнение данной системы

$x^2+y^2=2x+8y$          ⇔   $(x-1)^2+(y-4)^2=17$  

представляет собой уравнение окружности  с центром (1;4)  и   R=√17, которая  проходит через (0;0)

а уравнение  $|y|=|ax|$   - пара вертикальных прямых, также проходящих через начало координат и пересекающих окружность каждая в двух точках, одна из  которых (0;0)

 Требование задачи (c учетом  ОДЗ: |y|<8) выполнено, если одна из вертикальных прямых (синяя) пересекает  окружность  внутри угла, образованного осью Оу и прямой, соединяющей точку (2;8) с началом координат, т. е прямая y=4x  является границей указанной области:  [4; +∞)