Question

Решите систему уравнений

Answer 1

Ответ: (2.5; 0.25)

Объяснение:

у меня получилось графическое решение...

под каждым корнем (очевидно) сумма квадратов, которая (если представить график соответствующего уравнения) является левой частью уравнения окружности: для первого корня окружность с центром в точке (1;1), для второго корня окружность с центром в точке (3;0).

и сумма таких квадратных корней --это по сути сумма радиусов этих окружностей... и система уравнений "требует", чтобы точка лежала одновременно на обеих этих окружностях (тут сразу вспоминается линия центров и расстояние между центрами именно √5) и на графике показательной функции у=2^(x-4.5)

Answer 2

$2^{1+x}=32y\sqrt{2}\\ \\ 2^{x-\frac{9}{2}}=y$

Преобразуем второе равенство и подставляем переменную у.

$f(x):~\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+y^2}=\sqrt{5}$

$\sqrt{(1-x)^2+\left(1-2^{x-\frac{9}{2}}\right)^2}+\sqrt{(x-3)^2+\left(2^{x-\frac{9}{2}}\right)^2}=\sqrt{5}$

Обозначим $\vec{a}=\left\{1-x;1-2^{x-\frac{9}{2}}\right\},~\vec{b}=\left\{x-3;2^{x-\frac{9}{2}}\right\}.$ Тогда

$\vec{a}+\vec{b}=\left\{1-x+x-3;1-2^{x-\frac{9}{2}}+2^{x-\frac{9}{2}}\right\}=\{-2;1\}.\\ \\ \left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}$

Но $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\leq \left|\vec a\right|+\left|\vec b\right|$, то $f(x)\geq \sqrt{5}$ и равенство достигается при

$\dfrac{1-x}{-2}=\dfrac{1-2^{x-\frac{9}{2}}}{1}~~\Rightarrow~~2^{x-\frac{7}{2}}=3-x$

Решая последнее уравнение графически, имеем $x=2{,}5$ , тогда $y=0{,}25.$

Ответ: $(2{,}5;0{,}25).$