Question

Профильная математика 15 задание, помогите, пожалуйста. Решаю для себя сборник 2018г.

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////

Answer 2

Решение:

Домножим все на $x^2$. Мы можем это сделать по причине того, что $x^2 \ne 0$ (в противном случае это давало бы ноль в знаменателе) и $x^2 > 0$ (квадрат выражения не может быть отрицательным).

$\displaystyle 4^x + \frac{48}{x^2} \geq \frac{13 \cdot 2^{x+1}}{x} \;\;\; \Big | \cdot x^2 > 0 \\\\4^x x^2 + 48 \geq 13 \cdot 2^{x+1} \cdot x \\\\(2^2)^x \cdot x^2 + 48 - 13 \cdot 2 \cdot 2^x \cdot x \geq 0 \\\\(2^x)^2 \cdot x^2 - 26 \cdot (2^x \cdot x) + 48 \geq 0 \\\\(2^x \cdot x)^2 - 26 \cdot (2^x \cdot x) + 48 \geq 0$

Замена: $t = 2^x \cdot x$ ($t \ne 2^0 \cdot 0 = 0$).

$t^2 - 26 \cdot t + 48 \geq 0$

Вспомогательное уравнение $t^2 - 26t + 48 = 0$ можно решить теоремой Виета:

$\displaystyle \left \{ {{t_1t_2=48} \atop {t_1 + t_2 = 26}} \right. ; \;\;\; \left \{ {{t_1=24 } \atop {t_2=2}} \right.$

Так как перед нами парабола, ветви которой направлены вверх (по коэффициенту $a=1>0$), то $t \in ( - \infty ; 0 ) \cup (0; 2 ] \cup [24; + \infty )$ (точку $0$ убираем из решения из-за ОДЗ).

$2^x \cdot x \in ( - \infty ; 0 ) \cup (0; 2 ] \cup [24; + \infty )$.

Заметим, что значение функции, задающейся уравнением $2^x \cdot x$, при $x<0$ всегда будет меньше ноля (так как $2^x>0$ и $x<0$). То есть, $(- \infty; 0)$ принадлежит множеству решений уравнения.

Если же $x>0$ (точка $x=0$ не рассматривается, так как не входит в ОДЗ), то функция $2^x \cdot x$ монотонно возрастает на рассматриваемом промежутке (как произведение двух положительных монотонно возрастающих функций). Следовательно, если при $x=1$ достигается крайняя точка на промежутке $(0;2]$, то при $0<x \leq 1$ принадлежит рассматриваемому промежутку ($(0;2]$), а при $x>1$ - не принадлежит. Значит, второй промежуток - это $(0;1]$.

Аналогично и рассмотрение функции $2^x \cdot x$ на промежутке $[24; + \infty )$. В силу монотонности функции при положительных $x$, при $0<x<3$ она меньше $24$ (что нам не подходит), а при $x \geq 3$ располагается в нужном промежутке.

Значит, $x \in ( - \infty; 0) \cup (0; 1] \cup [3; + \infty )$.

Ответ: $\large \boxed { x \in ( - \infty; 0) \cup (0; 1] \cup [3; + \infty ) }$