Question

Логарифмическое неравенство

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{x+1+\frac{1}{x} >0} \atop {{x^2+1+\frac{1}{x^2}>0 \atop{|2x-\frac{1}{2} |\neq 0}} \right.$      $\left \{ {\frac{x^2+x+1}{x} >0} \atop {{ x \in R \atop{x\neq \frac{1}{4} }} \right.$   ⇒  x ∈( 0 ; $\frac{1}{4}$ ) U ( $\frac{1}{4};+\infty)$

Если

$|2x-\frac{1}{2} |>1$ логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:  

$\left \{ {{|2x-\frac{1}{2} |>1} \atop {x+1+\frac{1}{x} \geq x^2+1+\frac{1}{x^2} }} \right.$         $\left \{ {{2x-\frac{1}{2} < -1 ; 2x-\frac{1}{2} >1 } \atop {x+\frac{1}{x} \geq(x+\frac{1}{x}) ^2-2 }} \right.$   ⇒ замена переменной $x+\frac{1}{x} =t$

D=(-1)²-4·(-2)=9;  корни  t₁=1;  t₂=2

C учетом ОДЗ:

$\left \{ {{x>\frac{3}{4} } \atop {(x+\frac{1}{x}-1)(x+\frac{1}{x}-2)\leq 0 }} \right.$   ⇒  x^2-2x+1 ≤0  ⇒  (x-1)²≤0    ⇒   x=1  

Если

$0 <|2x-\frac{1}{2} |<1$  логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:  

$\left \{ {{0<|2x-\frac{1}{2} |<1} \atop {x+1+\frac{1}{x} \leq x^2+1+\frac{1}{x^2} }} \right.$       $\left \{ {{-1<2x-\frac{1}{2} <1, 2x-\frac{1}{2} \neq 0 } \atop {x+\frac{1}{x} \leq (x+\frac{1}{x}) ^2-2 }} \right.$  ⇒ замена переменной $x+\frac{1}{x} =t$

D=(-1)²-4·(-2)=9;  корни  t₁=1;  t₂=2

C учетом ОДЗ:

$\left \{ {{0<x<\frac{1}{4}; \frac{1}{4}<x < \frac{3}{4} } \atop {(x+\frac{1}{x}-1)(x+\frac{1}{x}-2) \geq0 }} \right.$    ⇒  x^2-2x+1 ≥0  ⇒(x-1)²≥0  x - любое

$x \in (0; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4}; \frac{3}{4})$

О т в е т. $x \in (0; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4}; \frac{3}{4})\cup{1}$

2 способ:

ОДЗ:

$\left \{ {{x+1+\frac{1}{x} >0} \atop {{x^2+1+\frac{1}{x^2}>0 \atop{|2x-\frac{1}{2} |\neq 0}} \right.$      $\left \{ {\frac{x^2+x+1}{x} >0} \atop {{ x \in R \atop{x\neq \frac{1}{4} }} \right.$   ⇒  x ∈( 0 ; $\frac{1}{4}$ ) U ( $\frac{1}{4};+\infty)$

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

$(|2x-\frac{1}{2}|-1)\cdot (x+1+\frac{1}{x}- x^2-1-\frac{1}{x})\geq 0$

$(|2x-\frac{1}{2}|-1)\cdot( (x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})- 2)\leq 0$

Решаем неравенство методом интервалов:

1)

$|2x-\frac{1}{2}|-1= 0$     ⇒      $|2x-\frac{1}{2}|=1$   ⇒

$2x-\frac{1}{2}=-1$          или               $2x-\frac{1}{2}=1$

$x=-\frac{1}{4}$   не входит в ОДЗ       или       $x=\frac{3}{4}$

2)$(x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})- 2=0$

Замена   $x+\frac{1}{x}=t$

$t^2-t-2=0$

$t_{1}=1$   или    $t_{2}=2$

$x+\frac{1}{x}=1$    или   $x+\frac{1}{x}=2$

$\frac{x^2-x+1}{x}=0$    или   $\frac{x^2-2x+1}{x}=0$

нет корней    или    x=1

Расставляем знаки неравенства

$(|2x-\frac{1}{2}|-1)\cdot( (x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})- 2)\leq 0$

на ОДЗ:

(0) _-___ ( $\frac{1}{4}$ ) _____-____ ( $\frac{3}{4}$ ) ____+_____  [1} ___+___

О т в е т.$x \in (0; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4}; \frac{3}{4})\cup{1}$

Answer 2

Ответ:(0;1/4)∪(1/4;3/4)∪{1}

Пошаговое объяснение: см. во вложении

Добавлю еще первое неравенство, которое решал методом интервалов. дла случая а)2*(х-3/4)*(-(х-1)²/х)*((х²+1-х)/х)≥0

Для случая б) -2*(х+1/4)*(-(х-1)²/х)*((х²+1-х)/х)≥0