Question

Упростите данное выражение:

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$\displaystyle \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3)^2}=\frac{A(x+3)^3+B(x-1)(x+3)+C(x-1)}{(x-1)(x+3)^2}$

Знаменатель первой дроби раскладывается на множители: $x^3+5x^2+3x-9=(x-1)(x+3)^2$

$\displaystyle \frac{x^2-1}{(x-1)(x+3)^2}=\frac{A(x+3)^2+B(x-1)(x+3)+C(x-1)}{(x-1)(x+3)^2}\\x^2-1=Ax^2+6Ax+9A+Bx^2+2Bx-3B+Cx-C\\1\cdot x^2+0\cdot x-1=(A+B)x^2+(6A+2B+C)x+(9A-3B-C)$

Коэффициенты перед x², x и свободный член соответственно равны:

$\begin{cases}A+B=1,\\6A+2B+C=0,\\9A-3B-C=-1 \end{cases}\begin{cases}A+B=1,\\4A+2+C=0,\\12A-3-C=-1 \end{cases}\begin{cases}A+B=1,\\4A+C=-2,\\12A-C=2 \end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow \begin{cases}B=1,\\A=0,\\C=-2 \end{cases}$

Действительно, $\displaystyle \frac{1}{x+3}-\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{x+1}{(x+3)^2}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+3)^2}=\frac{x^2-1}{x^3+5x^2+3x-9}$

$\dfrac{A+2B}{C}=\dfrac{0+2\cdot 1}{-2}=-1$