Question

Найти сопротивление бесконечных цепочек:

Answer 1

1) Заметим, что какая бы ни была цепочка, если сопротивления всех ее звеньев увеличить вдвое, ее эквивалентное сопротивление также возрастет вдвое.

Заметим что наша цепочка это три последовательных резистора r, и паралелльно к ней присоединенная такая же бесконечная цепочка, но с удвоенным сопротивлением.

Поэтому

1/R = 1/(3r) + 1/(2R)

1/(2R) = 1/(3r)

R= 1.5 r

2) Откинем два крайних резистора пока

Обозначим ток, ушедший в первый горизонтальный резистор как A1, а ток ушедший в первый вертикальный резистор как B1, во второй горизонтальный A2, во второй вертикальный B2 и т д. Для любого звена с номером n имеем два правила Кирхгофа

$A_n = B_{n+1} + A_{n+1}\\-B_n+A_n + B_{n+1} = 0$

Отсюда

$A_{n+1} = 2A_n - B_n\\B_{n+1} = B_n - A_n$

Пусть полный ток I в первом звене разделился как

$A_1 = kI\\B_1 = (1-k)I$

Посчитаем несколько первых звеньев по полученному правилу

$A_2 = (3k-1)I; \quad B_2 = (1-2k)I\\A_3 = (8k-3)I; \quad B_3 = (2-5k)I\\A_4 = (21k-8)I; \quad B_4 = (5-13k)I\\A_5 = (55k-21)I; \quad B_5 = (13-34k)I$

Заметим что коэффициенты при k в скобках и свободные члены это все числа Фибоначчи! Причем множитель при k это число Фибоначчи с номером на 2 большим, чем соответствующий свободный член.

При стремлении n к бесконечности, отношение коэффициента при k и свободного члена стремится к Ф^2, где число Ф = (1+√5)/2 - золотое сечение. Если k не будет равен 1/Ф^2, мы получим в итоге неограниченный рост токов при стремлении n к бесконечности, чего не может быть. Для компенсации растущих чисел Фибоначчи мы понимаем что k может быть только равен 1/Ф^2.

Теперь вспомним про два крайних резистора и посчитаем перепад напряжения от A к B идя по самому нижнему контуру (по последнему вертикальному резистору течет нулевой ток)

$U = IR + (1-k)IR + IR = IR(3-k) = IR(3-\varphi^2)\\R_\text{eff} = U/I = R(3-\varphi^2)$

Где φ = 1/Ф = (1-√5)/2 ≈0.618