Question

Помогите посчитать ряды:(( Помогите!!!!

Answer 1

Ответ: 3/16

Объяснение:

Первый способ.

Разложение в ряд Тейлора функции:

1/(1+x) = 1-x+x^2-x^3+x^4+ ...+ (-1)^(n-1)*x^(n-1)+...  |x|<1

Продифференцируем  обе части равенства:

-1/(1+x)^2 = -1 +2x -3x^2 +4*x^3+...+n*(-1)^(n)*x^(n-1)+...

Умножим обе части равенства на -x

x/(1+x)^2 = x -2x^2 +3x^3 -4x^4+...+n*(-1)^(n+1) *x^n+...

Подставим : x=1/3 < 1

1/3 -2/3^2 +3/3^3 -4/3^4+...+(-1)^(n+1)*n/3^n+... =                                =1/3/(1+1/3)^2 = 1/3 /(4/3)^2 = 3/16

Второй способ. (без дифференцирования)

Пусть:

1/3 -2/3^2 +3/3^3 -4/3^4+...+(-1)^(n+1)*n/3^n+... = S

Очевидно, что

1-1/3 +1/3^2 -1/3^3 +1/3^4+...+(-1)^(n)/3^n+... =  1/(1-(-1/3) ) = 3/4 - cумма бесконечно убывающей геометрической прогресии с b=1 ; q=-1/3

1/3^2 -2/3^3 +3/3^4 -4/3^5+...+(-1)^(n+1)*n/3^(n+1)+... = S/3

Тогда:

S/3 +3/4 = 1-1/3 +2/3^2 -3/3^3+4/3^4+...+(-1)^(n+1)/3^(n-1)+...= 1-S

S+S/3 = 1/4

4S/3 = 1/4

S=3/16